光子学的精密分束：深入解析达曼光栅 (Dammann Grating) 的物理原理与数学设计

在现代光学系统中，如何将一束激光高效、均匀地分裂成多束光，是一个极具挑战性的基础问题。从面部识别中的点阵投影，到光通信中的并行处理，再到激光加工中的多点焊接，分束（Beam Splitting） 都是核心环节。

传统的半透半反镜（Beam Splitter）难以实现大规模阵列分束；全息透镜（HOE）虽然灵活但效率和均匀性往往受限。1971年，H. Dammann 和 K. Görtler 提出了一种特殊的二元相位光栅——达曼光栅（Dammann Grating），它以极其优雅的数学形式解决了这一物理难题。

本文将摒弃浅层的现象描述，从波动光学的标量衍射理论出发，推导达曼光栅的物理本质，并深入探讨其背后的数学优化逻辑。

1. 物理本源：为何选择二元相位？

要理解达曼光栅，首先必须回到光栅衍射的第一性原理。

1.1 振幅型 vs. 相位型

最简单的光栅是振幅光栅（Amplitude Grating），即通过周期性的遮挡（透光率在0和1之间变化）来调制光。然而，根据巴比涅原理（Babinet’s principle）和能量守恒，振幅光栅的一半能量被阻挡吸收，其理论衍射效率极限极低（对于方波振幅光栅，一级衍射效率仅为 $\approx 10%$）。

为了提高能量利用率，我们必须转向相位光栅（Phase Grating）。相位光栅不吸收光，而是通过改变介质的折射率或厚度，对入射光波的波前进行调制。

$$
t(x) = \exp(i \phi(x))
$$

其中 $t(x)$ 是复振幅透射函数，$\phi(x)$ 是相位调制函数。由于 $|t(x)| = 1$，理论上没有能量损失。

1.2 二元化的工程智慧

在20世纪70年代，微纳加工技术尚不成熟，制造连续变化的相位轮廓（如闪耀光栅的锯齿波）极为困难。Dammann 的天才之处在于他提出了二元相位（Binary Phase） 的概念。

他将相位 $\phi(x)$ 限制在两个值：$0$ 和 $\pi$。
这种二元设计在物理实现上极其简单：只需在基底上刻蚀特定的深度 $h$。根据光程差公式：

$$
\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} (n - 1) h = \pi \implies h = \frac{\lambda}{2(n-1)}
$$

其中 $\lambda$ 是波长，$n$ 是材料折射率。这种简单的“台阶”结构非常适合光刻（Lithography）工艺。

2. 数学推导：傅里叶域的逆问题

达曼光栅的核心不在于物理结构的复杂，而在于相位跳变点（Transition Points） 位置的数学设计。这是一个典型的逆问题：已知目标衍射图样，求解光栅结构。

2.1 透射函数的傅里叶展开

假设光栅是周期性的，周期为 $T$（归一化为1）。在一个周期内，相位在 $0$ 和 $\pi$ 之间跳变。由于 $\exp(i0)=1$ 且 $\exp(i\pi)=-1$，透射函数 $t(x)$ 本质上是一个取值为 $+1$ 和 $-1$ 的方波函数。

设在一个周期内有 $N$ 个相位跳变点，坐标为 $x_1, x_2, \dots, x_N$，且满足 $0 < x_1 < x_2 < \dots < x_N < 1$。
根据傅里叶光学理论，远场衍射分布由光栅透射函数的傅里叶级数系数决定。

我们将 $t(x)$ 展开为傅里叶级数：

$$
t(x) = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} C_m \exp(i 2\pi m x)
$$

其中 $C_m$ 是第 $m$ 级衍射波的复振幅系数。

2.2 达曼方程组的建立

根据傅里叶系数的定义：

$$
C_m = \int_{0}^{1} t(x) \exp(-i 2\pi m x) dx
$$

对于偶对称设计的达曼光栅（通常设计为关于原点对称以简化计算），我们可以推导出 $m$ 级（$m \neq 0$）的频谱系数表达式。经过分段积分和简化（假设 $t(0)=1$），我们得到著名的达曼方程：

$$
C_m = \frac{1}{m\pi} \sum_{k=1}^{N} (-1)^{k+1} \sin(2\pi m x_k)
$$

对于零级衍射（$m=0$）：

$$
C_0 = 2 \sum_{k=1}^{N} (-1)^{k+1} x_k - 1 \quad (\text{视具体边界条件而定})
$$

2.3 目标函数

我们的目标是产生 $2M+1$ 个等强度的衍射光斑（例如从 $-M$ 到 $+M$ 级）。这要求衍射效率 $\eta_m = |C_m|^2$ 对于所有的 $m \in [-M, M]$ 都是常数。

因此，我们需要求解一组非线性方程组：

$$
|C_m(x_1, x_2, \dots, x_N)|^2 = \text{Constant}, \quad \text{for } m = 0, \pm 1, \dots, \pm M
$$

这就是达曼光栅设计的数学本质：寻找一组最优的转折点 ${x_k}$，使得目标衍射级次的功率谱尽量平坦。

3. 算法求解：在多维空间中寻找极值

解析求解上述非线性方程组在 $N$ 较大时几乎是不可能的。这是一个典型的高维非凸优化问题。

3.1 自由度的限制

根据代数基本定理，为了控制 $M$ 个独立的衍射级次强度，我们需要至少 $M$ 个自由度。在达曼光栅中，每一个相位跳变点 $x_k$ 提供一个自由度。因此，要产生 $2M+1$ 个光斑，通常需要在一个半周期内设置 $M$ 个跳变点。

3.2 优化算法的选择

传统的牛顿-拉夫逊法（Newton-Raphson）依赖于初值的选取，容易陷入局部最优解。在现代设计中，我们通常采用全局优化算法：

1. 模拟退火算法 (Simulated Annealing, SA):

   • 将误差函数（如均匀性误差）视为系统的“能量”。
   • 通过引入随机扰动和逐渐降低“温度”，允许系统跳出局部极小值。
   • 优势：能找到接近全局最优的解。

2. 遗传算法 (Genetic Algorithm, GA):

   • 将跳变点向量 ${x_k}$ 视为“染色体”。
   • 通过选择、交叉和变异操作进化出最优结构。

3.3 评价指标

设计的好坏主要由两个指标决定：

• 衍射效率 (Diffraction Efficiency, $\eta$):
  $$ \eta = \sum_{m \in \text{Target}} |C_m|^2 $$
  对于一维达曼光栅，理论极限约为 81%。这意味着约 19% 的能量必然分布在不需要的高阶衍射级次上。这是二元相位调制的物理限制。

• 均匀性 (Uniformity, $U$):
  $$ U = \frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}} $$
  优秀的达曼光栅设计可以将 $U$ 控制在 1% 以内。

4. 2D 达曼光栅与 Python 仿真验证

实际应用中，我们通常需要二维阵列（如 $4 \times 4$ 或 $8 \times 8$）。由于傅里叶变换的分离变量特性，二维达曼光栅可以简单地由两个正交的一维光栅叠加而成：

$$
t(x, y) = t_x(x) \cdot t_y(y)
$$

这意味着我们只需要设计一维结构，然后正交旋转即可。

下面是一个使用 Python 模拟 1D 达曼光栅衍射场强分布的简易代码片段，展示了如何从结构计算频谱：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def calc_dammann_spectrum(transitions, max_order=10):
    """
    计算达曼光栅的衍射谱
    transitions: 归一化周期内的相位跳变点列表 [x1, x2, ...]
    """
    orders = np.arange(-max_order, max_order + 1)
    coeffs = []
    
    for m in orders:
        if m == 0:
            # 简化计算，假设起始相位为0
            c = 1 - 2 * transitions[0] + 2 * transitions[1] - ... 
            # 实际需根据具体的求和公式
            val = 0 # 占位，具体取决于跳变点数量
        else:
            sum_sin = 0
            for k, xk in enumerate(transitions):
                # 符号交替 (-1)^(k+1)
                sign = (-1)**(k) 
                sum_sin += sign * np.sin(2 * np.pi * m * xk)
            c = (1 / (m * np.pi)) * sum_sin
        coeffs.append(np.abs(c)**2)
        
    return orders, coeffs

# 注意：这只是一个原理性伪代码，真实的系数计算需严格遵循边界条件

5. 局限性与现代演进

尽管达曼光栅非常经典，但它并非完美无缺。

1. 高阶衍射干扰：由于是二元光栅，其频谱包含大量的高阶谐波。在某些高信噪比要求的应用中，这被称为“鬼影”（Ghost orders）。
2. 效率上限：81% 的效率限制了其在高能激光领域的应用。
3. 波长敏感性：光栅结构是针对特定波长设计的。波长漂移会导致 $0$ 和 $\pi$ 的相位差不再准确，进而破坏零级抑制，导致中心光斑极亮（Zero-order hotspot）。

5.1 技术的演进

为了克服这些限制，现代光学引入了：

• 多阶相位光栅 (Multi-level Phase Gratings)：不局限于 $0/\pi$，引入 4 阶或 8 阶台阶，效率可逼近 100%。
• 超表面 (Metasurfaces)：利用亚波长结构实现对相位、振幅和偏振的任意调控，打破了传统衍射光学的限制。

6. 总结与应用展望

达曼光栅是物理光学与数学优化完美结合的典范。它利用最简单的二元结构，通过精密的傅里叶频谱工程，实现了复杂的光场调控。

从原理上讲，它是**结构光（Structured Light）**技术的基石之一。当你使用 iPhone 的 FaceID 解锁手机时，虽然其点阵投射器可能采用了更为复杂的衍射光学元件（DOE）或超表面设计，但其核心思想——通过相位调制实现特定点阵分布——与达曼光栅一脉相承。

在激光雷达（LiDAR）向纯固态演进的过程中，利用光栅进行多光束并行扫描正在成为一种重要技术路线。理解达曼光栅，即是理解了光子在微观结构中舞动的基本步法。

---

如果您对如何编写具体的遗传算法来求解达曼光栅的转折点感兴趣，或者想了解其在光通信中的具体波导耦合方案，欢迎在评论区深入探讨。