广义斯涅尔定律的完整物理推导
公元 1621 年，威勒布拉德·斯涅尔 (Willebrord Snellius) 发现了著名的折射定律：$n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$。这条定律像一道枷锁，规定了光在穿过两种介质界面时，其折射方向只能由两边的材料属性（折射率）决定。
几个世纪以来，为了控制光，人类不得不打磨各种曲面透镜，通过改变厚度来积累相位。这就是为什么你的相机镜头如此厚重。
直到 2011 年，哈佛大学 Capasso 教授团队提出了广义斯涅尔定律 (Generalized Snell’s Law)，指出如果在界面上引入一个相位突变 (Phase Discontinuity)，光就可以打破枷锁，实现任意方向的折射。这一发现直接开启了超表面 (Metasurface) 的黄金时代。
但这背后的物理原理究竟是什么？为什么引入相位梯度就能改变光路？
本文将不依赖任何现成结论，从光学的本源——费马原理出发，对这一核心定律进行一次完整的数学推导。
01. 物理原本：费马原理与相位平稳
要推导光怎么走，必须问光遵循什么规则。
费马原理 (Fermat’s Principle) 告诉我们：光在两点之间传播，总是选择光程 (Optical Path Length, OPL) 取极值的路径。
在波动光学中，光程对应着相位 (Phase)。费马原理等价于相位平稳原理 (Principle of Stationary Phase)：
对于真实的光路，其总相位积累 $\Psi$ 对路径参数的微分为零。
$$\frac{d\Psi}{dx} = 0$$
这意味着，如果我们考察两条无限接近的真实光路，它们到达同一点时的相位差必须为零（即发生相长干涉）。我们将利用这个微元思想来构建方程。
02. 推导模型构建
让我们建立一个标准的二维物理模型：
- 界面：$y=0$ 平面将空间分为两部分。
- 上方：介质 1，折射率 $n_i$。
- 下方：介质 2，折射率 $n_t$。
- 超表面：在界面上布置了一层亚波长结构，它们在位置 $x$ 处引入了一个额外的相位突变 $\Phi(x)$。
- 入射光：平面波从介质 1 入射，入射角 $\theta_i$。
- 折射光：进入介质 2，折射角 $\theta_t$。
03. 核心推导过程
我们考察两条极度接近的光线路径，它们打在界面上的位置分别为 $A$ 点 ($x$) 和 $B$ 点 ($x+dx$)。
为了满足波前连续性（或者说费马原理），这两条光线在通过界面后，其总相位变化量必须相等。
总相位由三部分组成：
$$\Psi_{total} = \Psi_{in} + \Phi_{interface} + \Psi_{out}$$
我们需要计算这三部分在 $dx$ 距离内的增量。
第一步：入射侧的相位差 ($d\Psi_{in}$)
观察入射光波前（垂直于波矢量的面）：
当光线落点从 $x$ 移到 $x+dx$ 时，光线实际上需要多走一段路程才能到达界面。
根据几何关系，这段额外的路程是：
$$dL_{in} = dx \cdot \sin\theta_i$$
对应的相位增量为（$k_0 = \frac{2\pi}{\lambda_0}$ 为真空波数）：
$$d\Psi_{in} = k_0 n_i \cdot (dx \sin\theta_i)$$
第二步：界面上的相位突变差 ($d\Phi$)
这是经典光学中不存在的项。
由于超表面结构随位置变化，点 $x$ 和点 $x+dx$ 处的微纳结构不同，导致光获得的额外相位也不同。
这个差异就是相位梯度：
$$d\Phi = \frac{d\Phi(x)}{dx} dx$$
第三步：折射侧的相位差 ($d\Psi_{out}$)
观察折射光波前：
当光线从 $x+dx$ 射出时，相比于从 $x$ 射出的光线，它在介质 2 中的行程“缩短”了（或者说，为了保持波前垂直于光线，$x$ 点发出的光已经多走了一段）。
折射侧的几何路程投影为：
$$dL_{out} = dx \cdot \sin\theta_t$$
对应的相位补偿为：
$$d\Psi_{out} = k_0 n_t \cdot (dx \sin\theta_t)$$
第四步：建立平衡方程
根据相位平稳原理，两条路径的总相位必须匹配。
也就是说：入射相位增量 + 界面相位增量 = 折射相位增量
$$k_0 n_i \sin\theta_i \cdot dx + \frac{d\Phi}{dx} dx = k_0 n_t \sin\theta_t \cdot dx$$
04. 广义斯涅尔定律的诞生
消去公因式 $dx$，我们得到：
$$k_0 n_i \sin\theta_i + \frac{d\Phi}{dx} = k_0 n_t \sin\theta_t$$
为了让公式更美观，我们将 $k_0 = \frac{2\pi}{\lambda_0}$ 代入并移项：
$$n_t \sin\theta_t - n_i \sin\theta_i = \frac{\lambda_0}{2\pi} \frac{d\Phi}{dx}$$
这就是震动光学界的广义斯涅尔定律。
它包含两部分：
- 经典项 ($n_t \sin\theta_t - n_i \sin\theta_i = 0$)：如果界面没有相位梯度 ($\frac{d\Phi}{dx}=0$)，它就退化为经典的斯涅尔定律。
- 梯度项 ($\frac{d\Phi}{dx}$)：这是超表面赋予我们的新自由度。只要设计合适的相位梯度，我们就能任意控制折射角 $\theta_t$。
同理，我们可以推导出广义反射定律：
$$\sin\theta_r - \sin\theta_i = \frac{\lambda_0}{2\pi n_i} \frac{d\Phi}{dx}$$
05. 物理本质：光子动量守恒
这个公式虽然是几何推导出来的，但它背后藏着更深刻的量子力学原理：动量守恒 (Momentum Conservation)。
光子的动量为 $\vec{p} = \hbar \vec{k}$。
在界面切向方向 ($x$ 轴)，动量必须守恒。
$$k_{x, out} = k_{x, in} + k_{surface}$$
- $k_{x, in} = k_0 n_i \sin\theta_i$ 是入射光子的切向动量。
- $k_{x, out} = k_0 n_t \sin\theta_t$ 是出射光子的切向动量。
- $\nabla\Phi = \frac{d\Phi}{dx}$ 正是超表面提供给光子的“虚拟动量”。
结论： 超表面本质上是一个动量转换器。它通过精细的结构设计，给路过的光子“踢”了一脚，改变了它的动量大小，从而改变了它的方向。
06. 临界情况：光会消失吗？
观察公式，如果不小心把 $\frac{d\Phi}{dx}$ 设计得太大，使得右边的计算结果大于 $n_t$ 怎么办？
$$\sin\theta_t = \frac{n_i}{n_t}\sin\theta_i + \frac{\lambda_0}{2\pi n_t}\frac{d\Phi}{dx} > 1$$
此时 $\sin\theta_t$ 无实数解。这意味着光无法折射进入介质 2。
光会变成倏逝波 (Evanescent Wave)，紧贴着界面传播，能量在垂直方向指数衰减。
这在物理上对应着衍射极限。在设计超透镜 (Metalens) 时，这是一个必须校验的边界条件。
07. 结语
通过这次推导，我们不仅得到了一个公式，更理解了超表面的核心哲学：用空间换相位，用相位换动量。
既然我们知道了 $\frac{d\Phi}{dx}$ 决定了光的方向，那么接下来的问题就是：工程上，我们如何制造出这个 $\Phi(x)$？
这需要我们设计一种微纳结构（人工原子），通过改变它的形状（如圆柱的直径、长方体的角度），来精确控制光穿过它时的相位延迟。