波前、相位与振幅的数学本质及调制原理
在几何光学中，我们习惯画“光线”。但在微纳光学、全息技术和超表面领域，光线的概念已经失效，我们必须戴上波动光学的眼镜。
在这副眼镜下，光不再是直线，而是一个在空间中起伏的复数场。理解波前 (Wavefront)、相位 (Phase) 和 振幅 (Amplitude) 之间的数学关系，是掌握现代光学技术的关键。
01. 描述光的数学语言：复振幅
根据麦克斯韦方程组，单色光波的标量电场 $E(\vec{r}, t)$ 可以表示为：
$$E(\vec{r}, t) = A(\vec{r}) \cos[\omega t - \phi(\vec{r})]$$
- $A(\vec{r})$：振幅，决定光的强弱。
- $\phi(\vec{r})$：相位，决定光的波形和传播方向。
- $\omega$：角频率，决定光的颜色。
为了方便数学运算（尤其是傅里叶变换），我们通常使用复数表示法 (Complex Notation)，去掉时间项 $e^{-i\omega t}$（因为探测器响应太慢，测不到时间高频振荡），只保留空间部分，称为复振幅 (Complex Amplitude) $U(\vec{r})$：
$$U(\vec{r}) = A(\vec{r}) \cdot e^{i\phi(\vec{r})}$$
这就是光场的三位一体：
- 振幅 $A$ 是复数的模 (Modulus)。
- 相位 $\phi$ 是复数的辐角 (Argument)。
- 波前 则是相位的等值面。
02. 深度解析：三者的物理图景
1. 振幅 (Amplitude)与强度
振幅 $A(\vec{r})$ 是最直观的物理量。
我们人眼或相机看到的“亮度”，在物理上是光强 (Intensity)，它正比于振幅的模平方：
$$I(\vec{r}) = |U(\vec{r})|^2 = A^2(\vec{r})$$
- 调制方式：衰减片、光圈、偏振片。本质是乘法运算（乘以一个 $0$ 到 $1$ 的系数）。
2. 相位 (Phase)与延迟
相位 $\phi(\vec{r})$ 描述了波在某一点的“振动状态”。
如果把光波比作一列行进的队伍，相位就是告诉你是该抬左脚还是抬右脚。
- 相对性：相位的绝对值没有意义，有意义的是相位差 (Phase Difference)。
- 物理本质：光在介质中传播时积累的光程 (Optical Path Length, OPL) 转化为了相位。
$$\Delta \phi = k_0 \cdot \Delta OPL = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot n \cdot d$$
($n$: 折射率, $d$: 传播距离)。
3. 波前 (Wavefront)与形状
定义：空间中所有相位相同的点构成的曲面。
$$\phi(x, y, z) = C \quad (C \text{ is constant})$$
最核心的结论：
光线的传播方向（波矢量 $\vec{k}$），永远垂直于波前，指向相位减小的方向。
数学上，波矢量是相位的梯度 (Gradient)：
$$\vec{k}(\vec{r}) = \nabla \phi(\vec{r}) = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z} \right)$$
这意味着：如果你控制了相位 $\phi(x,y)$ 的分布，你就控制了光往哪里跑！
03. 相位调制的数学原理与应用
这是现代光学（SLM、超表面）最精彩的部分。我们通过改变通过平面的相位分布 $\phi(x,y)$，来重塑波前。
场景一：光束偏转 (Beam Steering) —— 线性相位
如果我们希望光束偏转一个角度 $\theta$。
波前形状：必须是一个倾斜的平面。
数学公式：
$$\phi(x, y) = k_x \cdot x = (k_0 \sin\theta) \cdot x$$
物理操作：
我们需要在光通过器件时，引入一个随位置 $x$ 线性增加的相位延迟。这就是棱镜的作用，也是相控阵雷达的原理。
场景二：光束聚焦 (Focusing) —— 二次相位
如果我们希望光束汇聚到一个焦点 $f$。
波前形状：必须是一个收缩的球面。
数学公式（近轴近似）：
球面波前的相位分布是二次函数（抛物面）：
$$\phi(r) = -\frac{k_0 r^2}{2f} = -\frac{\pi r^2}{\lambda f}$$
($r = \sqrt{x^2+y^2}$)
物理操作：
我们需要在中心引入最小的相位延迟，在边缘引入最大的相位延迟（让边缘的光“慢下来”等中心的光）。
这就是凸透镜的作用。如果你在 SLM 上加载这个 $r^2$ 的相位图，它就变成了一个数字透镜。
场景三：涡旋光束 (Vortex Beam) —— 螺旋相位
如果我们希望光束携带轨道角动量 (OAM)，形成“甜甜圈”光斑。
波前形状：像螺旋楼梯一样。
数学公式：
$$\phi(\theta) = l \cdot \theta$$
($l$: 拓扑荷数, $\theta$: 方位角 $\arctan(y/x)$)
物理操作：
相位随着角度从 $0$ 变到 $2\pi l$。这就是螺旋相位板 (Spiral Phase Plate) 的原理。
04. 调制与重构：全息术 (Holography)
全息术的本质，就是同时记录和重构振幅与相位。
为什么照相只有二维？
因为胶片/CCD 只能记录强度 $I = |A|^2$，相位信息 $\phi$ 丢失了（丢失了深度和方向信息）。
计算机全息 (CGH) 的逆向设计
如果我们想要在远场得到一张图（目标振幅 $A_{target}$），我们该在全息板（源平面）上加载什么相位 $\phi_{source}$？
这是一个典型的迭代傅里叶变换算法 (GS Algorithm) 问题：
- 源平面：假设振幅均匀 $A_0$，随机猜测一个相位 $\phi_0$。
- 正向传播：做 FFT，传到目标平面。
- 约束替换：保留计算出的相位，强行把振幅替换为目标图像 $A_{target}$。
- 逆向传播：做 IFFT，传回源平面。
- 约束替换：保留计算出的相位，强行把振幅替换为 $A_0$（因为激光束振幅通常是均匀的）。
- 循环：重复上述步骤，直到相位收敛。
最终得到的相位图，就是一张全息图。
05. 总结
| 物理量 | 数学符号 | 物理意义 | 调制器件举例 | 核心公式 |
|---|---|---|---|---|
| 振幅 | $A$ | 能量、亮度 | 衰减片、光圈 | $I \propto A^2$ |
| 相位 | $\phi$ | 波形、方向 | 透镜、棱镜、SLM | $\vec{k} = \nabla \phi$ |
| 波前 | $\phi=C$ | 等相位面 | (由相位决定) | $\Delta \phi = k \Delta z$ |
一句话总结：
振幅决定了我们“看见”了什么，而相位决定了光“如何到达”那里。现代光学的魔术（隐身衣、超透镜、全息投影），本质上全都是在玩弄相位的数学游戏。