上帝的乐谱：从线性代数视角重构傅里叶变换 (FT) 的数学表达式
在上一篇文章中，我们用“频率的缠绕”这种物理直觉解释了傅里叶变换。今天，我们换一副眼镜，戴上线性代数的透镜，重新审视那个著名的公式：
$$
F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt
$$
为什么是积分？为什么是 $e^{-i\omega t}$？为什么有负号？
所有的答案都隐藏在两个数学概念中：内积 (Inner Product) 和 正交基 (Orthogonal Basis)。
01. 核心思想：函数即向量
在高中，我们处理的是二维、三维向量 $\vec{v} = (3, 4)$。
在大学数学中，我们将概念推广：函数也是向量。
- 向量 $\vec{v}$ 是有限维空间的一个点。
- 函数 $f(t)$ 是无穷维空间（希尔伯特空间）的一个点。
如果我们把 $f(t)$ 看作一个向量，那么 $t$ 的每一个取值，就是这个向量的一个“分量”。因为 $t$ 是连续的，所以这个向量有无穷多个分量。
02. 投影的艺术：从点积到积分
向量的点积
在欧几里得空间中，如何计算一个向量 $\vec{a}$ 在另一个单位向量 $\vec{b}$ 上的投影（分量大小）？用点积：
$$
\text{投影} = \vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i} a_i b_i
$$
函数的内积
将求和 $\sum$ 推广到连续域，就是积分 $\int$。对于复数函数，内积定义为：
$$
\langle f, g \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \overline{g(t)} dt
$$
(注意：对于复数向量，第二个元素必须取*共轭 $\overline{g(t)}$，这是为了保证长度定义 $\langle f, f \rangle$ 是实数)*
傅里叶变换的真面目
现在回头看公式：
$$
F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot e^{-i\omega t} dt
$$
根据欧拉公式，$e^{-i\omega t}$ 正是 $e^{i\omega t}$ 的复共轭！
所以，傅里叶变换本质上就是计算函数 $f(t)$ 与基函数 $e^{i\omega t}$ 的内积：
$$
F(\omega) = \langle f(t), e^{i\omega t} \rangle
$$
结论：$F(\omega)$ 仅仅是一个数值（系数），它代表了 $f(t)$ 这个巨大向量，在 $e^{i\omega t}$ 这个基向量方向上的投影分量。
[Image of vector projection analogy for Fourier transform]
03. 为什么选 $e^{i\omega t}$？正交性的奇迹
既然要分解信号，我们为什么偏偏选 $e^{i\omega t}$ （正弦/余弦波）做基底？为什么不选方波或三角波？
因为它们是正交的。
在向量空间中，正交基（如 X 轴和 Y 轴）最好用，因为它们互不干扰。
对于函数系 ${e^{i\omega t}}$，我们可以证明（在一定区间内）：
$$
\int_{0}^{T} e^{i m \omega_0 t} \cdot \overline{e^{i n \omega_0 t}} dt = \begin{cases} T, & m=n \ 0, & m \neq n \end{cases}
$$
- $m \neq n$ 时：内积为 0。这意味着不同频率的波是完全无关的。
- $m = n$ 时：内积不为 0。
正是因为这种完美的正交性 (Orthogonality)，我们可以把任意信号 $f(t)$ 唯一地分解成这些波的线性组合，而不用担心系数之间纠缠不清。
04. 逆变换：坐标系的重构
既然 $F(\omega)$ 只是一个个坐标系数，那么要把信号还原回来，只需要把这些系数乘以对应的基向量，然后加起来：
$$
f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega
$$
- $F(\omega)$：系数（在这个频率上由多少份量）。
- $e^{i\omega t}$：基向量（这个频率原本的样子）。
- $\int \dots d\omega$：广义的求和（把所有频率成分拼回去）。
(注：前面的 $\frac{1}{2\pi}$ 是归一化系数，取决于你对正变换的定义，目的是为了保持能量守恒，即帕塞瓦尔定理)
05. 所谓的“负频率”是什么？
数学表达式中，积分区间是 $(-\infty, +\infty)$，这意味着 $\omega$ 可以取负值。
物理上频率怎么可能是负的？
这纯粹是数学表达的需要。
$$
e^{i\omega t} = \cos(\omega t) + i\sin(\omega t)
$$
为了凑出一个实数的 $\cos(\omega t)$，我们需要正负频率的对消：
$$
\cos(\omega t) = \frac{e^{i\omega t} + e^{-i\omega t}}{2}
$$
所以，数学上的负频率，实际上是复平面上反向旋转的分量。它们与正频率分量共轭叠加，才构成了我们在示波器上看到的实数信号。
06. 总结
从数学角度看，傅里叶变换并没有什么魔法，它只是无穷维空间中的线性代数。
- 函数就是向量。
- 傅里叶变换就是求内积（计算投影坐标）。
- $e^{i\omega t}$ 就是正交基（坐标轴）。
- 积分就是求和。
当你理解了这一点，你就不再只是在套公式，而是在脑海中看到一个函数向量，被优雅地投影到了频率的坐标系中。