🔭 光学笔记：景深(Depth of Field)与焦深(Depth of Focus)
在光学设计和摄影领域，有两个概念经常被混淆：景深 (Depth of Field, DOF) 和 焦深 (Depth of Focus)。
很多人以为它们是一回事，其实它们分别位于透镜的两端：
- 景深：管的是物方 (Object Space)，决定了你能把多厚的物体拍清楚。
- 焦深：管的是像方 (Image Space)，决定了你的探测器（CCD/CMOS）安装误差能有多大。
今天我们就从几何光学和波动光学两个层面，硬核推导它们的计算公式及内在联系。
01. 几何示意图：一切的起点
首先，必须建立几何直观。
光学系统不是理想的点对点成像，光斑总是有大小的。当光斑直径小于某个允许值（比如相机的像素尺寸，或人眼的容许弥散圆）时，我们就认为它是“清晰”的。
- 左边（物方）：物体前后移动一段距离 $\Delta L$，像面上的光斑依然足够小，这段 $\Delta L$ 就是景深。
- 右边（像方）：探测器前后移动一段距离 $\Delta z’$，接收到的光斑依然足够小，这段 $\Delta z’$ 就是焦深。
02. 景深 (Depth of Field, DOF) —— 摄影师的战场
景深主要取决于三个要素：光圈 ($F/#$)、焦距 ($f$)、拍摄距离 ($L$)。
几何推导 (Geometric Derivation)
基于相似三角形，我们可以推导出前景深和后景深。这里直接给出最常用的工程近似公式（适用于中远距离拍摄）：
$$DOF \approx \frac{2 \cdot N \cdot \delta \cdot L^2}{f^2}$$
- $N$：光圈值 ($F$-number, 如 2.8, 8.0)。
- $\delta$：容许弥散圆直径 (Circle of Confusion, CoC)。通常全画幅相机取 0.03mm。
- $L$：对焦距离。
- $f$：镜头焦距。
深入分析
- 光圈越小 ($N$ 越大) $\rightarrow$ 景深越大。（F16 拍风景，F1.8 拍人像虚化）
- 焦距越短 (广角) $\rightarrow$ 景深越大。（这就是为什么手机很难拍出光学虚化，因为 $f$ 太短了）
- 距离越远 $\rightarrow$ 景深越大。
03. 焦深 (Depth of Focus) —— 光学工程师的战场
焦深对 Zemax 设计师和光刻机工程师至关重要。它决定了系统的装调公差。
焦深的定义主要有两种标准：几何标准和物理标准。
1. 几何焦深 (Geometric Depth of Focus)
受限于探测器像素大小（Pixel Size）。假设像素大小为 $p$，光圈数为 $F/#$ (即 $N$)。
$$\Delta z’_{geo} \approx 2 \cdot N \cdot p$$
- 含义：如果你的光圈是 F/4，像素是 3um，那么你的对焦误差不能超过 $2 \times 4 \times 3\mu m = 24\mu m$。
2. 物理焦深 (Diffraction Limited Depth of Focus)
当光学系统接近衍射极限（如光刻机、高倍显微镜）时，必须用瑞利判据 (Rayleigh Criterion) 计算。
这里引入数值孔径 $NA = n \sin\theta$。
$$\Delta z’_{diff} = \pm \frac{\lambda}{2 \cdot (NA)^2}$$
- $\lambda$：工作波长。
- $NA$：像方数值孔径。
深入分析：光刻机的噩梦
在浸没式光刻中，为了追求极致的分辨率，NA 越做越大（接近 1.35）。
由公式可知，焦深与 NA 的平方成反比。
- 这意味着：分辨率提高一倍，焦深会缩水四倍！
- 结果：晶圆表面的平整度要求必须极高，稍微有一点起伏，电路就刻糊了。
04. 终极关联：纵向放大率的秘密
景深（物）和焦深（像）是孤立的吗？当然不是。
它们通过纵向放大率 (Longitudinal Magnification, $\alpha$) 联系在一起。
我们知道垂轴放大率（倍率）是 $M = y’/y$。
而纵向放大率（轴向移动量的比值）是：
$$\alpha = \frac{dz’}{dz} \approx M^2$$
这个公式揭示了光学设计的深刻直觉：
场景 A：显微镜 ($M \gg 1$)
- 假设 $M = 100$ (100倍物镜)。
- $M^2 = 10000$。
- 结论：像方（焦深）是物方（景深）的 10000 倍！
- 现象：你看显微镜时，稍微转动微调旋钮（物方移动微米级），图像就模糊了（景深极浅）；但你的眼睛或者相机稍微前后挪动几厘米（像方移动），图像依然清晰（焦深很大）。
场景 B：航拍/安防相机 ($M \ll 1$)
- 假设 $M = 1/1000$ (拍远处的车)。
- $M^2 = 1/1000000$。
- 结论：像方（焦深）是物方（景深）的百万分之一！
- 现象：外面的车前后开几十米你都觉得清楚（景深极大）；但相机模组里的传感器如果装歪了 10 微米，画面就糊了（焦深极浅）。
05. 总结
在 Zemax 优化时，我们关注的是 Through Focus MTF 曲线，这本质上就是在检查焦深。
- 景深 (DOF)：是给用户用的。如果你做安防镜头，你要保证景深够大，让用户看清远近的目标。
- 焦深 (Focus Depth)：是给工厂用的。它决定了你的镜头和传感器在组装时的精度要求 (Tolerance)。
记住那个魔法公式：焦深 $\approx$ 景深 $\times M^2$。
理解了它，你就打通了物象空间的任督二脉。