📐 光学学习笔记：详解光通量、照度、强度与亮度

在微纳光学（Micro-nano optics）和光学系统设计中，准确理解光的度量单位是建模的基础。

很多人分不清 Radiometry（辐射度学） 和 Photometry（光度学）。

• 辐射度学是纯物理的能量度量（客观，单位：瓦特 Watt）。
• 光度学是基于人眼感知的度量（主观，单位：流明 Lumen）。

本文将从数学定义的角度，彻底理清光度学四大金刚：光通量、光强、照度、亮度。

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01. 全局概览图谱

在进入公式之前，先看这张经典的转换关系图。这是光学工程师必须印在脑子里的“地图”。

• 光源 (Source) 发出光通量 $\Phi$。
• 光在立体角 (Solid Angle) 内的密度是光强 $I$。
• 光打在接收面 (Surface) 上的密度是照度 $E$。
• 人眼 (Observer) 或是相机看到的发光面的明暗程度是亮度 $L$。

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02. 深度拆解：四大物理量

1. 光通量 (Luminous Flux, $\Phi_v$)

定义：光源在单位时间内发出的光能量，根据人眼视见函数加权后的结果。

• 单位：流明 (Lumen, lm)
• 物理公式：
  $$\Phi_v = K_m \int_{380}^{780} P(\lambda) V(\lambda) d\lambda$$
  • $P(\lambda)$：光谱辐射功率分布 (Spectral Power Distribution)，单位 $W/nm$。
  • $V(\lambda)$：人眼视见函数（CIE 标准），在 555nm (绿光) 处达到峰值 1。
  • $K_m$：最大光视效能，约为 683 lm/W。
• 工程意义：
  这意味着 1 Watt 的 555nm 绿光 $\approx$ 683 lm，而 1 Watt 的红外光 = 0 lm（因为人眼看不见）。

2. 发光强度 (Luminous Intensity, $I_v$)

定义：点光源在特定方向上，单位立体角内发出的光通量。

• 单位：坎德拉 (Candela, cd)
• 物理公式：
  $$I_v = \frac{d\Phi_v}{d\Omega}$$
  • $\Omega$：立体角 (Solid Angle)，单位是球面度 (sr)。
  • 全空间的立体角是 $4\pi$ sr。
• 常见误区：
  如果你把 LED 的发光角度压缩（加透镜），总流明 $\Phi$ 不变，但立体角 $\Omega$ 变小，所以中心光强 $I$ 会暴涨。这就是激光笔刺眼的原因。

3. 照度 (Illuminance, $E_v$)

定义：单位接收面积上接收到的光通量。它描述的是“被照面”的情况。

• 单位：勒克斯 (Lux, lx = $lm/m^2$)
• 物理公式：
  $$E_v = \frac{d\Phi_v}{dA}$$
• 距离平方反比定律 (Inverse Square Law)：
  对于点光源，照度与距离的平方成反比：
  $$E = \frac{I}{r^2} \cdot \cos\theta$$
  • $r$：光源到接收面的距离。
  • $\theta$：光线入射角（光线与法线的夹角）。
  • 应用：在模拟探测器（Detector）上的能量分布时，如果你移动探测器使其距离加倍，照度理论上会变为原来的 1/4。

[Image of Inverse Square Law for light diagram]

4. 亮度 (Luminance, $L_v$)

定义：发光面（或反射面）在单位投影面积、单位立体角内发出的光通量。

• 单位：尼特 (nit = $cd/m^2$)
• 物理公式：
  $$L_v = \frac{d^2\Phi_v}{d\Omega \cdot dA \cdot \cos\theta}$$
  • $dA \cdot \cos\theta$：这是投影面积。当你侧着看屏幕时，投影面积变小了，所以需要除以 $\cos\theta$ 来修正。
• 亮度守恒定律 (Conservation of Luminance)：
  在理想光学系统（无损耗）中，光在传播过程中，亮度是不变的。
  • 这就是为什么你不能通过透镜系统让成像比光源更“亮”（温度不能比光源更高）。

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03. 辐射度学 vs 光度学：

做微纳光学仿真时，你通常输入的是 Laser Power (Watts)，但最后客户要看的是亮度 (Nits)。你需要这张对照表：

物理维度	辐射度学 (Radiometry) 能量/物理	光度学 (Photometry) 人眼/视觉	转换桥梁 (555nm)
能量/功率	辐射通量 Radiant Flux 单位: Watt (W)	光通量 Luminous Flux 单位: Lumen (lm)	$1 W = 683 lm$
空间强度	辐射强度 Radiant Intensity 单位: W/sr	发光强度 Luminous Intensity 单位: Candela (cd)	$1 W/sr = 683 cd$
接收面密度	辐照度 Irradiance 单位: W/m²	照度 Illuminance 单位: Lux (lx)	$1 W/m^2 = 683 lx$
源表面亮度	辐射亮度 Radiance 单位: W/(sr·m²)	亮度 Luminance 单位: Nit (cd/m²)	$1 W/(sr\cdot m^2) = 683 nit$

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04. 典型计算案例

场景：
你有一个各向同性（各个方向发光均匀）的 LED 灯泡，总光通量为 1000 lm。
你想知道：

1. 它的发光强度是多少？
2. 在距离它 2 米远的桌面上，照度是多少？

计算过程：

1. 求光强 ($I$)：

   • 因为是各向同性点光源，光向四面八方发射，立体角 $\Omega = 4\pi \approx 12.57$ sr。
   • $I = \frac{\Phi}{\Omega} = \frac{1000}{4\pi} \approx \mathbf{79.6 \ cd}$。

2. 求照度 ($E$)：

   • 利用距离平方反比定律（假设垂直照射，$\cos\theta=1$）：
   • $E = \frac{I}{r^2} = \frac{79.6}{2^2} = \frac{79.6}{4} \approx \mathbf{19.9 \ lx}$。

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05. 总结

• $\Phi$ (lm) 是源头的“总水量”。
• $I$ (cd) 是喷头的“水压”。
• $E$ (lx) 是地面的“湿润度”。
• $L$ (nit) 是别人看过来觉得“刺不刺眼”。

做 Micro-nano optics 时，如果处理的是红外激光（如 1550nm），请直接忽略右边的光度学单位，死磕左边的 Radiometry (Watts) 即可，因为对于那样的波长，流明永远是 0。

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